Попов А.Ф.

Глава 1.  Общие сведения. Постановка задачи.

Глава 2.  Физические процессы в перетяжках пинча и бессиловые магнитные поля.

Глава 3.  Автономные высокотемпературные сгустки плазмы и вопросы их термоизоляции

Глава 4.  Шаровая молния в наблюдениях и в теории

Глава 5.  Заключение

§3.1 Постановка задачи. Исходные уравнения

         Магнитная  конфигурация классического сферомака (уравнения (2.47)) состоит из двух областей с различным распределением магнитного поля.  Во внутренней области, внутри сферы радиуса R, магнитное поле поддерживается собственными токаи плазмы.

В  то  время,  как  во  внешней  от  сепаратрисы  области,  для  создания  необходимого

распределения  магнитного  поля  требуются  постороние  источники.  В  результате, в    целом, подобные системы не являются автономными. Однако можно ожидать,  что  при

заполнении  внешней  области  плазмой,  магнитное  поле  в  ней  будет  поддерживатся собственными токами плазмы.   В частности,  такая  ситуация  может   возникнуть  при погружении сферомака, заполненного высокотемпературной плазмой, в атмосферу.  В    этом случае налетающий на горячий сгусток нейтральный газ ионизуется на некотором расстоянии от него и отражается магнитным полем сгустка. Толщина переходного слоя

в  общем  случае  определяется   двумя  процессами:   взаимной   диффузией  плазмы  и магнитного  поля  и  потерей   частиц   плазмы   вдоль   незамкнутых   силовых   линий магнитного поля. В результате первого процесса происходит уширение токового слоя, в то время как второй процесс приводит к его сжатию.  Если  ω_ceτ>>1   большая  часть электронов отражается магнитным полем в переходном слое и только незначительное количество   электронов  испытывают  столкновения  с  ионами  и  диффундируют   в  переходной слой. Очевидно, что толщина переходного слоя  в этих условиях порядка циклотронного   радиуса   электрона.  Ионы,  практически,  не   взаимодействуют   с магнитным полем переходного слоя, они отражаются электрическим полем, которое возникает в нем из-за разделения зарядов. Давление внешней плазмы в данном случае уравновешивается давлением магнитного поля.

            Для   описания   равновессия   в  плазмоидах  с  конечным    давлением   плазмы   используем  систему уравнений магнитогидродинамики:

            gradP=1/c [JH],   rotH=4π/c J и divH=0.                             (3.1)

В случае  аксиальной  симметрии  (∂/∂φ=0),  учитывая,  что  divH=0  и  divJ=0,  удобно полоидальные компоненты магнитного поля и тока выразить через скалярные функции

Ψ(r,θ) и F(r,θ) ^[38] .В сферических координатах:     

                        H_p=1/2πrsinθ [gradΨe_φ],                                (3.2)

                        J_p=1/2πrsinθ [gradFe_φ] и                                (3.3)

                        F=rcsinθ H_φ/2.                                               (3.4)

            Из уравнения равновессия (3.1) следует, что (HgradP)=0,[JH]_φ=0 и (JgradP)=0.

Поэтому P=P(Ψ) и F(Ψ), магнитные и токовые поверхности совпадают и представляют собой  поверхности  равного  давления.  Подставляя  (3.2)  и  (3.3)  в  второе  уравнение системы (3.1) получим уравнение Грэда-Шафранова относительно  Ψ ^[38,39] :

            ∂²Ψ/∂r²+sinθ/r² ∂/∂θ(1/sinθ ∂Ψ/∂θ)=-8π²/c rsinθ J_{φ .}               (3.5)

            Характерные распределения магнитного поля и давления плазмы в равновесной конфигурации легко получить  при  линейной  зависимости  функций   P(Ψ)  и  F(Ψ)  от функции потока  Ψ^[3.9] . Пологая

            P=P_o±aΨ и F=σλΨ,                                                              (3.6)

где P_o, a и λ-некоторые постоянные, уравнение (3.5) сводится к виду:

            ∂²Ψ/∂r²+sinθ/r² ∂/∂θ(1/sinθ ∂Ψ/∂θ)+k²Ψ=±16π³ar²sin²θ        (3.7)

Общее регулярное решение уравнения (3.6) имеет вид^[40]

            Ψ=±πac²r²sinθ/σ²λ²+∑C_nsinθP_n¹(cosθ)r^1/2J_n+1/2(kr),               (3.8)

где суммирование производится по всем n≥1, P_n¹(cosθ)-присоединенные сферические

функции и J_n+1/2(kr) - функции Бесселя полуцелого индекса. Используя это решение и граничные  условия   (2.38)  и  (2.39)  можно  найти  точные  решения  для  различных магнитных конфигураций.

            Отметим, что  в  равновесной  плазме  в  магнитном   поле   имеются дрейфовые и диффузионные движения. Скорость, которых дается выражением^[9]

                        U_p=c[EH]/H²-c²/σH² gradP.                                       (3.9)

Только в бессиловой системе скорость обращается в нуль.

            §3.2  Автономные системы

Физический  смысл  решений  наиболее  очевиден  в  случае,  когда   внутреняя бессиловая область представляет собой бесконечный  цилиндр  и  функция  Ψ  зависит только от радиуса ρ=rsin[PA1] θ. Уравнение (3.7) в координатах цилиндра приводится к виду

∂²Ψ/∂t²-1/ρ ∂Ψ/∂ρ+k²Ψ=-16π²аρ².                                       (3.10)                                             Решениями  этого уравнения для внутренней области являются функции

Ψ=-H_oρc/2σλ J₁(k[PA2] ρ), H_z=-H_o J_o(kρ) и H_φ=-H_oJ₁(kρ).       (3.11)                                   Из условия равенства нулю H_φ(kρ_o) на границе области при ρ=ρ_o, если ограничится первым корнем, имеем:

            kρ_o=p₁₁.                                                                     (3.12)

Во внешней области азимутальное магнитное поле равно нулю. При линейной зависимости давления от Ψ в этой области решение уравнения (3.10) имеет вид

Ψ=πρ_o²H_oJ_o(p₁₁) (1-ρ²/ρ_o²)-2aπ³ρ_o⁴(1-ρ²/ρ_o²)²,

H_z=-H_oJ_o(p₁₁)+4aπ²ρ_o²(1-ρ²/ρ_o²)².                                          (3.13)

Функция  потока  обращается  в  нуль  на  цилиндических  поверхностях  ρ=ρо и ρ₂=(ρ_о² – H_o J_o(p₁₁)/2aπ²)^1/2. На цилиндрической поверхности ρ₁[PA3] =(ρ_o²-H_oJ_o(p₁₁)/4aπ²)^1/2 она достигает  максимума, а  магнитное  поле  обращается  в  нуль. Давление плазмы P=aΨ ведет себя подобно функции потока. На этой поверхности можно сшить это решение  с решением для изотропной плазмы без магнитного поля,  пологая,  что  при  ρ≥ρ₁, P(ρ)= =P_o=const. Таким  образом  полная  магнитная  конфигурация  состоит из трех областей: области бессилового магнитного поля при ρ≤ρо, переходной области ρ_о≤ρ≤ρ₁, и области ρ[PA4] ≥ρ₁,   заполненной   плазмой   с  однородным   давлением.  В   переходной   области выполняется равенство:

H_z²/8π+P=P_o=const.                                       (3.14)

В данной конфигурации магнитное поле поддерживается собственными токами плазмы  и  в  этом  смысле  она  является   автономной. Если выполняется неравенство          H_oJ_o(p₁₁)<<4aπ²  магнитное  поле  бессиловой   конфигурации  экранируется  на  малых расстояниях:

∆ρ=ρ₁-ρ_о≈H_oJ_o(p₁₁)/8aπ²ρo                                        (3.15) 

        Рассмотрим  бессиловой  сферомак, погруженный  в  плазму. В  случае   сферической

симметрии решение для бессиловой области дается выражениями (2.47).  В переходной области  λ=0  и  решение,  удовлетворяющее   граничным   условиям   на   поверхности сферомака, имеют вид:

            Ψ=πr²sin²θ{1/3(3H_o+16π²aR²/5)(1-R³/r³)+8π²aR²/5(1-r²/R²)},

            H_r=cosθ{1/3(3H_o+16π²aR²/5)(1-R³/r³)+8π²aR²/5 (1-r²/R²)},

            H_θ=-sinθ/2 {1/3(3H_o+16π²aR²/5)(2+R³/r³)+16π²aR²/5 (1-2r²/R²)}                (3.16)

Магнитная конфигурация, описываемая этим решением, ограничена в пространстве двумя сепаратрисами при r=R и r=r₁. На  этих  сферических  поверхностях  магнитный поток  и  радиальное  магнитное  поле  обращаются   в  нуль,  а   H_θ=-3/2H_osinθ.    При

3H_o/8π²aR²<<1,r₁≈R+3H_o/8π²aR. Функция потока имеет относительный максимум при

 r=r₂≈R+3H_o/16π²aR. На этой сферической поверхности компонента магнитного поля H_θ обращается в нуль. Радиальная компонента магнитного поля достигает относительного

максимума  при   r=r₃=R(1+15H_o/16π²aR²)^1/5.  Если   15H_o/16π²aR²<<1,    относительный максимум радиальной компоненты магнитного поля с точностью до членов второго порядка совпадает с относительным максимумом функции потока.

            На сферической поверхности r=r₄=R(1+3H_o/8π²aR²)^1/2 распределение магнитного поля имеет вид:

            H_r=2Bcosθ и H_θ=-Bsinθ,                                            (3.17 )

где 2B=1/3(3H_o+16π²aR²/5)(1-R³/r₄³)+16π²aR²/10  (1-r₄²/R²). Это магнитное поле можно сшить с дипольным  магнитным полем с моментом m=Br₄³

                        H_r=2m/r³ cosθ и H_θ=-m/r³ sinθ                       (3.18)

Тогда вдали от плазмоида напряженность магнитного поля спадает как 1/r³ и в этом случае не требуются внешние проводники с током для создания магнитного поля. Однако распределение давления на этой поверхности, при 3H_o/8π²aR²<<1

                                   P=9H_o/32π sin²θ                                 (3.19)

Такое распределение давления не сшивается с изотропным давлеием плазмы.

Характерной особенностью распределения магнитного поля (3.16) является его сильная неоднородность вдоль силовой линии вблизи сепаратрисы при 3Ho/8π²aR²<<1. В этом случае закон движения   зарядов  при  высокой  температуре  плазмы  вдоль  и поперек магнитного поля существенно различен. В неоднородном магнитном поле на заряженную частицу действует еще сила F=-μgradH, где μ-магнитный момент частицы. При определенных условиях она отражается от  области  сильного  магнитного  поля^[8]. Давление в общем случае не постоянно вдоль силовой линии и анизотропно. Градиент давления плазмы вдоль силовой линии поддерживается объемной силой^[38]

            F=-N_eμgradH+eN_eEs.                                               (3.20)                                                        Предположение  о  постоянстве  давления  вдоль  силовой  линии  в  данном  случае  не оправдано.

            Проведенный  выше  анализ  позволяет  прогнозировать  картину  деформации, которую испытает сгусток плазмы с магнитным полем типа классического сферомака при погружении его в плазму с однородным давлением. В этом случае,   прежде всего, возникнет несбалансированость сил, обусловленных давлением плазмы и магнитного поля. Она максимальна вблизи полюсов и спадает до нуля в экваториальной плоскости. Это приведет к более  сильному сжатию сфероида у полюсов и его форма, повидимому,  будет близка  к форме  сплюснутого  эллипсоида.  Кроме того, в результате   различных градиентов  давления  на  силовых   линиях   магнитного   поля   вблизи   сепаратрисы появляется  добавочная  сила  в меридиальном   направлении,  под  действием  которой плазма вместе с магнитным полем сжимается вблизи полюсов.  Поскольку   в  процессе сжатия плазма может свободно вытекать вдоль силовых линий  из  этой  области, то  в  конечном итоге градиент ее давления будет удерживатся в горловине  магнитного  поля  вблизи полюсов объемной силой (3.20).

            Вне   горловины   давление   плазмы   перпендикулярно  к  силовым   линиям магнитного поля. В  этой  области  она  отражается  магнитным  полем  плазмоида  и  в переходном слое образуется азимутальный диамагнитный ток. При ω_сeτ>>1 толщина слоя мала, порядка циклотронного радиуса  электрона, поэтому можно считать, что переход осуществляется скачком. Применяя теорему Стокса к уравнению Максвелла rotH=4π/c J  в  переходном  слое,  получим,  устремляя  толщину  слоя  к  нулю,  связь величины  магнитного поля на разрыве с поверхностным током I_s=lim∫Jds           

H=4[PA5] π/c I_s.                                                                  (3.21)                                 

При малой толщине слой можно считать плоским и условие равновесия в этом случае определится простым равенством^[8]

                        P=H²/8π.                                                                    (3.22)

Из равенств (3.21) и (3.22) следует, что

            I_s=(P/2π)^1/2                                                                 (3.23)      

В  рассмотренном  предельном  случае  магнитный  поток  в  переходном  слое Ψ=∫Hds  сохраняется,  поэтому  это выражение  может  быть  использовано  для  оценки   радиуса   перетяжки   внешнего   магнитного    поля    вблизи    полюсов    плазмоида.  Магнитное  поле  переходного слоя непрерывно  переходит в вакуумное поле и убывает при удалении от сгустка,   по  крайней  мере,  как  1/r³. В целом  общий вид автономной системы  может  быть близок  к  веретенообразной  форме, несмотря на то,  что форма бессиловой   области   представляет   собой   сплюснутый  сферомак.

Процесс образования переходного слоя при погружении высокотемпературного сгустка плазмы  в нейтральный  газ, можно ожидать, происходит следующим   образом.  В непосредственной близости от сгустка  газ  ионизуется  и  нагревается.  В  результате плазма образует поверхностный диамагнитный ток. Вблизи полюсов ток протекает по воронкообразной поверхности, обращенной  горловиной  к  центру  сгустка. Величина поверхностного тока I_s=c/4π (H+H₁), где H₁ - напряженность  поля  внутри   горловины. Аппроксимируя  горловину  усеченным   конусом   при   малом   отношении   радиуса горловины  δ к высоте конуса L интеграл

H₁(L)=  2π/c ∫I_sr²ds/(r²+(L-x)²)^3/2=  (2πP)^1/2sin²α ln[2L(1-sinα)/δcosα],          (3.24)

где  H₁(L)-напряженность магнитного поля в центре горловины  и 2α-угол при вершине конуса. Из этого выражения следует, что величина напряженноти H₁(L) при δ равном нескольким   циклотронным    радиусам   электрона   может    превосходить   величину   напряженности  сферомака   в   этой  области.  Так   как   это    поле   противоположно направлено,то в результате   перезамыкания   силовых   линий   и   последующего   их    выпрямления   образуется   переходной   слой.  Распределение   магнитного   поля автономного плазмоида показана на Рис.4.

§3.3  Равновесные плазмоиды с плазмой с конечным  давлением

Используя решения (3.8) и граничные условия (2.38) и (2.39) для сферомака с конечным давлением плазмы получим^[39]

Ψ=πac²r²sin²θ/(σλ)²{(R/r)_3/2J_3/2(kr)/J_3/2(kR)-1},

H_r=ac²cosθ/(σλ)²{(R/r)^3/2J_3/2(kr)/J_3/2(kR)-1},                

H_θ=ac²sinθ/(σλ)²{1-R^3/2/J_3/2(kR) 1/rd/dr(r^1/2J_3/2(kr))},

H_φ=2πacrsinθ/σλ{(R/r)^3/2J_3/2(kr)/J_3/2(kR)-1},                                   (3.25)

где  k=4πσλ/c.  При kR<p₁, где  p₁ -  первый  корень  функции   J_3/2(kr),  Ψ   и   P=aΨ положительны и области r<R и обращаются в нуль при r=R и на оси системы.              

            Во внешней области, за сепаратрисой, в свободном от плазмы пространстве решение представляется в виде:

            H_r=A(1-R³/r³)cosθ,   H_θ=-A(1+R³/2r³)sinθ,                                       (3.26)

где A=2ac²/3(σλ)²{R^3/2/J_3/2(kR)[d/rdr(r^1/2J_3/2(kr))]_r=R-1}.

            Решение типа^[39]:

            Ψ=sin²θ[-πac²r²/(σλ)²+C₁r^1/2J_3/2(kr)+C₃r^1/2J_7/2(kr)(5cos2θ-1)]           (3.27)

описывает распределение магнитного поля при С₃>0 сплюснутого и C₃<0 вытянутого эллипсоида   вращения   при   малой   эллиптичности.  В   общем  случае   при   любой эллиптичности   точные   решения  можно  найти  в  координатах  сплюснутого   или вытянутого  эллипсоида  вращения.  В  случае  однородного  давления  в  центральной области  плазмоида  распределение  магнитного  поля  в  ней   дается   решениями   для классического  сферомака.  Однако  в  этом  случае  тангенциальная   составляющая магнитного поля на границе плазмоида терпит разрыв

            H_t1-H_t2=4π/c I_p,   I_p=2cP/(H_t1+H_t2).                                                   (3.28)

            Угасание   магнитнойй   конфигурации,   погруженной   в   атмосферу,